Mitternachtsformel

In diesem Artikel werden wir uns näher mit der Mitternachtsformel – oft auch ABC-Formel genannt – beschäftigen. Dabei erfährst Du, wozu man die Mitternachtsformel überhaupt braucht und lernst, wie man sie in Übungsaufgaben richtig anwendet.

Definition Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel – oder ABC-Formel – ist ein mathematischer Ansatz um Nullstellen von allgemeinen quadratischen Gleichungen berechnen zu können. Hier bekommst Du die Anwendung simpel erklärt.

Quadratische Gleichung und Mitternachtsformel als Lösungsansatz

Die Mitternachtsformel

Was sind quadratische Funktionen

Falls Du Dich jetzt frägst, was denn überhaupt eine quadratische Gleichung ist, hier noch einmal die Erklärung in Kurzfassung. Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung zweiten Grades. Das bedeutet, der höchste Exponent der Variable x ist zwei.

Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form

allgemeine quadratische Gleichung
Damit Du Dir mehr darunter vorstellen kannst ein paar Beispiele wie solche Funktionen in der Praxis aussehen können:

2x² – 3x + 1 = 0
x² + 7 = 12
19x² + 3x = 2

Mitternachtsformel anwenden

Um jetzt solche quadratischen Funktionen lösen zu können benötigst Du die Mitternachtsformel. Diese kannst Du mit den folgenden 5 Schritten sofort anwenden um Ergebnisse zu ermitteln.

  • Gegebene Gleichung umwandeln, dass auf einer Seite nur „0“ steht
  • Werte für a,b und c ablesen
  • Diese Werte in die Mitternachtsformel einsetzen
  • 1. Lösung mit einem „-“ vor der Wurzel berechnen
  • 2. Lösung mit einem „+“ vor der Wurzel berechnen
  •  
    Zur besseren Verständlichkeit haben wir für Dich ein Mitternachtsformel Beispiel gerechnet.

    Nicht in jedem Fall gibt es aber am Ende wirklich zwei Ergebnisse. Dies ist abhängig von der Diskriminante.

    Die Diskriminante

    Als Diskriminante wird der Teil der Mitternachtsformel bezeichnet, der sich unterhalb der Wurzel befindet.

    Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung

    Die Diskriminante – Teil der Mitternachtsformel

    Lösungen in Abhängigkeit von der Diskriminante

    Abhängig vom Ergebnis der Diskriminante führt die Mitternachtsformel zu verschiedenen Lösungen.
    Dabei unterscheidet man zwischen drei verschiedenen Fällen:

    1. Fall: Diskriminante > 0
    Wenn die Diskriminante größer als Null ist, hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.

    2. Fall: Diskriminante = 0
    Wenn die Diskriminante gleich Null ist, hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.

    3. Fall: Diskirminante < 0
    Wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung.

    Grund dafür ist, dass sich die Diskriminante unter einer Wurzel befindet. Im ersten Fall steht unter der Wurzel eine positive, reelle Zahl. Addierst oder subtrahierst Du diese zu einer anderen Zahl bekommst Du zwei verschiedene Ergebnisse. Wenn unter der Wurzel Null steht, wie im zweiten Fall, dann macht es keinen Unterschied ob Du die andere Zahl mit Null addierst oder subtrahierst – das Ergebnis bleibt das Selbe. Weil Quadratwurzeln für negative Zahlen nicht definiert sind, gibt es für den dritten Fall, in welchem das Ergebnis eine negative Zahl ist, keine reelle Lösung.

    Mitternachtsformel ohne c

    Häufig fragen uns Schüler, wie sie die Mitternachtsformel ohne c anwenden können. Im Prinzip ist das ganz einfach. Wenn kein Wert für c gegeben ist, kannst Du davon ausgehen, dass c = 0 ist. Diesen Wert setzt Du nun ganz normal zusammen mit den Werten für a und b in die Mitternachtsformel ein. Et voilà – Dein Ergebnis.

    Mitternachtsformel Beispiel

    Mitternachtsformel Übungen

    Wichtig für Dich als Schüler ist es, wenn Du die Anwendung der ABC-Formel nun einmal verstanden hast direkt ein paar Mitternachtsformel Übungen durchzurechnen, damit Du das neue Wissen gleich vertiefen kannst. Im Folgenden liefern wir Dir einige Beispielaufgaben zur Mitternachtsformel mit Lösungen. Falls Du weitere Aufgaben rechnest und deren Lösungen überprüfen willst, empfehlen wir Dir unseren Mitternachtsformel Rechner zu verwenden.

    1. Aufgabe: 2x² + 4x + 2 = 0
    2. Aufgabe: 12x² – 2x – 4 = 0
    3. Aufgabe: x² + 3 = 0
    4. Aufgabe: 2x² = 5x -3

    Hier klicken um direkt die PDF-Datei mit Lösungen herunterzuladen

    Mitternachtsformel Herleitung

    Die Herleitung der ABC-Formel in einzelnen Schritten

    Herleitung der Mitternachtsformel aufgeschlüsselt

    Mitternachtsformel Rechner

    Mit unserem Mitternachtsformel Rechner oder ABC-Formel Rechner kannst Du blitzschnell die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnen lassen. Du musst Deine Gleichung lediglich selbst so umformen, dass Du die Werte für a, b und c ablesen kannst. Falls eines, oder beide Kästchen, in welchen die Lösung ausgegeben werden soll, leer bleiben, liegt das an der Diskriminante und es gibt schlichtweg nur ein oder kein Ergebnis.

     

    Woher kommt der Mitternachtsformel Name?

    Die ABC-Formel wird in weiten Teilen Deutschlands in der Schule umgangssprachlich als „Mitternachtsformel“ bezeichnet. Der Name kommt daher, dass Schüler die Formel so gut auswendig lernen sollen, dass sie diese selbst bei Mitternacht aufsagen können. In Österreich ist auch der Ausdruck „große Lösungsformel“ gebräuchlich.

    Mitternachtsformel Song

    Vielen Schülern helfen Songs dabei sich komplizierte Formeln einzuprägen. Durch den Entertainment-Faktor und das Ohrwurm-Potential von Mathe-Songs gelingt es vielen Menschen damit sehr schnelle Lernerfolge zu erzielen. Zum Glück gibt es bereits einen empfehlenswerten Mitternachtsformel Song von Dorfuchs. Vielleicht bist ja auch Du so ein Lerntyp. Probier es direkt einmal aus und hör Dir den ABC-Formel Song von Dorfuchs an:

    Vergleich zwischen Mitternachtsformel und PQ-Formel

    Ein alternativer Lösungsweg um die Nullstellen einer quadratischen Funktion herauszufinden ist die sogenannte PQ-Formel. Viele Mathematiklehrer unterrichten ihren Schüler die PQ-Formel, weil sie leichter einprägsam ist, als die Mitternachtsformel. Jedoch kannst Du diese Formel nur dann anwenden, wenn a = 1 entspricht. Entscheidend dafür, welche von beiden Formeln Du verwenden solltest ist also die Aufgabenstellung.

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